最大値・最小値の文章題 — 目的関数の頂点が答えになる

共通の方針

文章題で「最大・最小を求めよ」という問いが出たとき、手順は次の通りです：

放物線 $ y = a(x - p)^2 + q $ で $ a < 0 $ なら $ x = p $ で最大値 $ q $、$ a > 0 $ なら最小値 $ q $ です。

下の図は2つの典型問題のグラフです。

最大化・最小化のグラフ（収益最大化・面積最大化）

仕入れ値が1個40円の商品がある。1個 $ x $ 円で売ると1日の販売数が $ (100 - x) $ 個になるとする（$ 40 < x < 100 $）。1日の総利益を最大にする販売価格と、そのときの最大利益を求めよ。

変数の設定：販売価格 $ x $ 円（$ 40 < x < 100 $）

目的関数（1日の総利益）：

$$ f(x) = (\text{1個の利益}) \times (\text{販売数}) = (x - 40)(100 - x) $$

展開して平方完成します：

$$ f(x) = -x^2 + 140x - 4000 = -(x - 70)^2 + 4900 - 4000 = -(x - 70)^2 + 900 $$

頂点を読む：$ a = -1 < 0 $ なので上に凸。頂点は $ (70,\ 900) $。

$ x = 70 $ は定義域 $ 40 < x < 100 $ に含まれる ✓

答え：販売価格 $ x = 70 $ 円のとき、1日の最大利益は 900円。

長さ20mのロープを折り曲げて長方形の囲いを作る。囲いの面積が最大になる縦と横の長さを求めよ。

変数の設定：縦の長さを $ x $ m（$ 0 < x < 10 $）とおく。

横の長さ：周の長さが20mなので $ 2(x + \text{横}) = 20 $ → 横 $ = 10 - x $ m。

目的関数（面積）：

$$ S(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x = -(x - 5)^2 + 25 $$

頂点を読む：$ a = -1 < 0 $ なので上に凸。頂点は $ (5,\ 25) $。

$ x = 5 $ は定義域 $ 0 < x < 10 $ に含まれる ✓

答え：縦 $ 5 $ m、横 $ 5 $ m のとき、最大面積は $ S = 25 $ m²。

正方形のとき面積が最大になります。

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