平行移動（x軸方向・y軸方向）— $ x $ を $ x-p $ に換えると右に $ p $ 動く理由

問題

放物線 $ y = x^2 - 6x + 11 $ について答えよ。

（1）この放物線はどの放物線をどのように平行移動したものか。移動量（x方向・y方向）を求めよ。

（2）さらに $ x $ 軸方向に $ -2 $、$ y $ 軸方向に $ 1 $ だけ平行移動した放物線の式を求めよ。

平行移動とは何か

「平行移動」とは、グラフ上のすべての点を同じ方向・同じ距離だけ動かす操作です。

放物線の形（開き具合・向き）は変わらず、位置だけが変わります。$ y = f(x) $ を $ x $ 方向に $ p $、$ y $ 方向に $ q $ だけ平行移動した放物線の式は

$$ y = f(x - p) + q $$

なぜ x を x-p に換えると右に動くか

「右に $ p $ 動かすのに $ x - p $（引き算）になる」という事実は一見逆に見えます。図で確認します。

下の図で、元の放物線 $ y = x^2 $（左）と移動後の放物線（右）を見てください。

平行移動：移動前後の放物線の比較

移動後の放物線 $ y = (x - 3)^2 $ の頂点は $ (3, 0) $ にあります。

考え方: 元の放物線は $ x = 0 $ で頂点に達します。「$ x = 3 $ のとき元の頂点の高さになる」放物線が欲しいとき、$ x - 3 = 0 $、つまり $ x = 3 $ を頂点にするには $ f(x - 3) $ と書きます。「$ x - 3 $ が 0 になる点」を頂点にする、という操作が $ x-p $ への置き換えの意味です。

問題の解き方

（1）平方完成して移動量を読む

$ y = x^2 - 6x + 11 $ を平方完成します。

$$ y = x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2 $$

これは $ y = x^2 $ を $ x $ 方向に $ 3 $、$ y $ 方向に $ 2 $ だけ平行移動した放物線です。頂点は $ (3, 2) $。

（2）さらに平行移動する

頂点 $ (3, 2) $ を $ x $ 方向に $ -2 $、$ y $ 方向に $ 1 $ だけ動かすと、新しい頂点は

$$ (3 + (-2),\ 2 + 1) = (1, 3) $$

この頂点を持ち、$ x^2 $ の係数が $ 1 $ の放物線は

$$ y = (x - 1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 4 $$

まとめ

$$ y = f(x) \text{ を } x \text{ 方向に } p \text{、} y \text{ 方向に } q \text{ 平行移動} \implies y = f(x - p) + q $$

$ x $ を $ x - p $ に換える → $ x $ 方向に $ p $ だけ移動（$ p > 0 $ なら右、$ p < 0 $ なら左）
全体に $ q $ を加える → $ y $ 方向に $ q $ だけ移動（$ q > 0 $ なら上、$ q < 0 $ なら下）

逆問題の手順: 式を平方完成 → 頂点形 $ a(x - p)^2 + q $ から移動量を読む。

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平行移動（x軸方向・y軸方向）— \( x \) を \( x-p \) に換えると右に \( p \) 動く理由

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