対称移動（x軸・y軸・原点）— 符号の反転がグラフをどう動かすか

問題

放物線 $ y = x^2 + 4x - 1 $ に対して、次の各対称移動後の放物線の式を求めよ。

（1）$ x $ 軸に関して対称

（2）$ y $ 軸に関して対称

（3）原点に関して対称

3種の対称移動の操作

対称移動は「対称軸（または対称点）を挟んで各点を裏返す」操作です。

下の図で、元の放物線（灰色）と3種の対称移動後の放物線（黒）の頂点の移動先を確認してください。

対称移動の3種：x軸対称・y軸対称・原点対称

x 軸対称: $ y $ の符号を反転

$ x $ 軸に関して対称とは、$ x $ 軸を挟んで上下に裏返す操作です。グラフ上の点 $ (a, b) $ が $ (a, -b) $ に移ります。

式の操作: $ y $ を $ -y $ に換える。

$$ y = f(x) \xrightarrow{\text{x軸対称}} -y = f(x) \implies y = -f(x) $$

y 軸対称: $ x $ の符号を反転

$ y $ 軸に関して対称とは、$ y $ 軸を挟んで左右に裏返す操作です。グラフ上の点 $ (a, b) $ が $ (-a, b) $ に移ります。

式の操作: $ x $ を $ -x $ に換える。

$$ y = f(x) \xrightarrow{\text{y軸対称}} y = f(-x) $$

原点対称: $ x $ と $ y $ 両方の符号を反転

原点に関して対称とは、原点を中心に180°回転させる操作です。点 $ (a, b) $ が $ (-a, -b) $ に移ります。

式の操作: $ x $ を $ -x $、$ y $ を $ -y $ に換える（両方反転）。

$$ y = f(x) \xrightarrow{\text{原点対称}} -y = f(-x) \implies y = -f(-x) $$

問題の解き方

$ y = x^2 + 4x - 1 $ を平方完成すると

$$ y = (x + 2)^2 - 5 $$

頂点は $ (-2, -5) $。

（1）x 軸対称

$ y $ を $ -y $ に換えます。

$$ -y = (x + 2)^2 - 5 \implies y = -(x + 2)^2 + 5 $$

頂点が $ (-2, -5) $ から $ (-2, 5) $ に移動（y座標の符号が反転）。放物線は上に凸になります。

（2）y 軸対称

$ x $ を $ -x $ に換えます。

$$ y = (-x + 2)^2 - 5 = (x - 2)^2 - 5 $$

頂点が $ (-2, -5) $ から $ (2, -5) $ に移動（x座標の符号が反転）。

（3）原点対称

$ x $ を $ -x $、$ y $ を $ -y $ に換えます。

$$ -y = (-x + 2)^2 - 5 = (x - 2)^2 - 5 \implies y = -(x - 2)^2 + 5 $$

頂点が $ (-2, -5) $ から $ (2, 5) $ に移動（x・y両座標の符号が反転）。

頂点の移動先の対応表

対称移動	操作	頂点 $ (p, q) $ の移動先
$ x $ 軸対称	$ y \to -y $	$ (p, -q) $
$ y $ 軸対称	$ x \to -x $	$ (-p, q) $
原点対称	$ x \to -x,\ y \to -y $	$ (-p, -q) $

確認の方法: 対称移動後の頂点が正しい位置にあるかをチェックすれば、式の計算ミスを早期に発見できます。

まとめ

$$ \begin{aligned} x \text{ 軸対称} &: y = f(x) \to y = -f(x) \\[4pt] y \text{ 軸対称} &: y = f(x) \to y = f(-x) \\[4pt] \text{原点対称} &: y = f(x) \to y = -f(-x) \end{aligned} $$

解説PDFについて

この単元全3問（平行移動・対称移動・合成変換）の解説PDFをダウンロードできます。

PDFをダウンロードする（無料）

← 単元トップへ：二次関数の平行移動・対称移動

→ 次の記事：平行移動と対称移動の合成

対称移動	操作	頂点 \( (p, q) \) の移動先
\( x \) 軸対称	\( y \to -y \)	\( (p, -q) \)
\( y \) 軸対称	\( x \to -x \)	\( (-p, q) \)
原点対称	\( x \to -x,\ y \to -y \)	\( (-p, -q) \)