平行移動と対称移動の合成 — 変換の順序が結果を変える

問題

放物線 $ y = x^2 - 4x + 3 $ に対して、次の各変換後の式を求めよ。

（1）$ y $ 軸に関して対称移動してから、$ x $ 軸方向に $ 3 $ だけ平行移動する。

（2）$ x $ 軸方向に $ 3 $ だけ平行移動してから、$ y $ 軸に関して対称移動する。

（1）と（2）の結果を比べ、変換の順序が結果に影響することを確認せよ。

「2つの変換を順番に行う」ことを合成変換といいます。

合成変換では変換の順序が重要です。「先にAをしてからB」と「先にBをしてからA」は、一般に異なる結果をもたらします（例外は後述）。

下の図で、2通りの順序それぞれの変換後の放物線を比べてください。

平行移動と対称移動の合成：変換順序の違い

まず元の放物線を平方完成します。

$$ y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1 $$

頂点は $ (2, -1) $。

Step 1: y 軸対称 （$ x $ を $ -x $ に換える）

$$ y = (-x - 2)^2 - 1 = (x + 2)^2 - 1 $$

頂点が $ (2, -1) $ から $ (-2, -1) $ に移動。

Step 2: x 方向に 3 移動 （$ x $ を $ x - 3 $ に換える）

$$ y = (x - 3 + 2)^2 - 1 = (x - 1)^2 - 1 $$

頂点が $ (-2, -1) $ から $ (1, -1) $ に移動。

Step 1: x 方向に 3 移動 （$ x $ を $ x - 3 $ に換える）

$$ y = (x - 3 - 2)^2 - 1 = (x - 5)^2 - 1 $$

頂点が $ (2, -1) $ から $ (5, -1) $ に移動。

Step 2: y 軸対称 （$ x $ を $ -x $ に換える）

$$ y = (-x - 5)^2 - 1 = (x + 5)^2 - 1 $$

頂点が $ (5, -1) $ から $ (-5, -1) $ に移動。

	変換順序	式	頂点
（1）	y軸対称 → x方向+3移動	$ y = (x-1)^2 - 1 $	$ (1, -1) $
（2）	x方向+3移動 → y軸対称	$ y = (x+5)^2 - 1 $	$ (-5, -1) $

（1）≠（2）。変換の順序を変えると結果が異なります。

「$ y $ 軸対称」の操作は「$ x $ の符号を反転」させます。この操作の前後に「$ x $ を $ x-p $ に換える（平行移動）」があると、反転の対象が変わります。

直感: 「右にずらしてから左右反転」と「左右反転してから右にずらす」は別の操作です。前者は反転後に右移動分が残り、後者は反転後に元のずれが逆方向に見える。

次の2つの変換は交換可能（順序を変えても結果が同じ）です。

合成変換では、変換を行う順番が重要です。

手順:

「どの順番でどの操作をしたか」を1ステップずつ丁寧に追うことが、合成変換のミスを防ぎます。

この単元全3問（平行移動・対称移動・合成変換）の解説PDFをダウンロードできます。

	変換順序	式	頂点
（1）	y軸対称 → x方向+3移動	\( y = (x-1)^2 - 1 \)	\( (1, -1) \)
（2）	x方向+3移動 → y軸対称	\( y = (x+5)^2 - 1 \)	\( (-5, -1) \)