解の配置（2解が異符号）— $ f(0) < 0 $ の1条件で決まる構造

問題

方程式 $ x^2 + ax + a - 3 = 0 $ の2解が異符号（一方が正、他方が負）となる実数 $ a $ の範囲を求めよ。

「2解が異符号」とは、解の1つが正で、もう1つが負の状態です。放物線 $ y = f(x) $ で考えると、「$ x $ 軸の正の側と負の側にそれぞれ1点ずつ交わる」ことを意味します。

このとき、放物線は必ず $ x = 0 $ でx軸と交差します。つまり $ f(0) $ の符号が決め手になります。

下の図で、$ f(0) < 0 $（左：異符号）と $ f(0) > 0 $（右：同符号）の違いを確認してください。$ x = 0 $ でのy値の符号が、解の配置を直接決めていることが見えます。

解の配置（2解が異符号）：f(0)の符号と解の位置の関係

$ f(0) < 0 $ が成り立てば、放物線の値が $ x = 0 $ で負です。上に凸（または下に凸）の放物線がある $ x $ 座標で負の値をとるということは、その左右でいずれかの交点がある——具体的には $ x = 0 $ の左右に1解ずつあることが確定します。

この問題では $ f(0) = a - 3 $ なので、

$$ f(0) < 0 \iff a - 3 < 0 \iff a < 3 $$

前の記事（2解が同符号）では判別式 $ D \geq 0 $ が条件に入りました。しかし2解が異符号の場合は、判別式の条件を別に設ける必要がありません。

理由は、$ f(0) < 0 $ が成り立つ時点で、放物線が $ x = 0 $ でx軸より下にあります。連続な二次関数が x=0 で負の値をとるならば、左右のどこかで必ずx軸と交わります——これは実数解の存在を自動的に保証しています。

つまり $ f(0) < 0 $ は「実数解が存在すること（D ≥ 0 に相当）」と「解が 0 を挟んで異符号になること」を同時に含んでいます。

$$ \text{2解が異符号} \iff f(0) < 0 $$

この問題では $ a < 3 $ が答えです。

「同符号のときは3条件、異符号のときは1条件」という違いは、解の位置条件によって必要な制約の数が変わることを示しています。次の記事では、解が特定の区間に入る条件を扱います。

この単元全4問（同符号・異符号・区間内・解が区間を挟む）の解説PDFをダウンロードできます。