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\( a \leq x \leq a+1 \) において、\( f(x) = x^2 - 2x + 2 \) の最小値を求めよ。
最初にすることは平方完成です。
これで、軸は \( x = 1 \)、頂点は \( (1,\ 1) \) とわかります。
問1・問2との違いは、今回は軸が固定されている点です。動くのは区間 \( a \leq x \leq a+1 \) のほうです。パラメータ \( a \) の値が変わるたびに区間が左右にスライドし、固定された軸 \( x = 1 \) との位置関係が変わります。だから「場合分け」が必要になります。
軸 \( x = 1 \) が区間 \( a \leq x \leq a+1 \) に対してどこにあるか——この位置関係だけを見れば、最小点の場所は自然に決まります。
軸が区間の右外（\( a \leq 0 \)）
区間の右端 \( x = a+1 \) が軸以下（\( a+1 \leq 1 \)）にある。区間全体が軸より左にあるため、\( f \) はこの範囲全体で単調減少します。範囲内で軸に最も近いのは右端 \( x = a+1 \) であり、ここが最小点になります。
軸が区間の内部（\( 0 < a < 1 \)）
軸 \( x = 1 \) が区間の内部に入っている（\( a < 1 < a+1 \)）。頂点がそのまま範囲内に存在するため、頂点の値が最小値です。
軸が区間の左外（\( a \geq 1 \)）
区間の左端 \( x = a \) が軸以上（\( a \geq 1 \)）にある。区間全体が軸より右にあるため、\( f \) はこの範囲全体で単調増加します。範囲内で軸に最も近いのは左端 \( x = a \) であり、ここが最小点になります。
「軸の左では減少、軸の右では増加」という放物線の性質から、各ケースで最小点の場所は図を見ながら確認できます。論理の骨格は問1と同じです。問1は「軸が動いて区間に対する位置が変わる」、この問題は「区間が動いて軸に対する位置が変わる」——見方が逆でも、「軸と区間の位置関係」で場合分けするという構造は変わりません。
① \( a \leq 0 \) のとき
区間が軸の右外にある（\( a+1 \leq 1 \)）。最小点は右端 \( x = a+1 \)（範囲内で軸に最も近いから）。
② \( 0 < a < 1 \) のとき
軸が区間の内部にあるから、頂点 \( x = 1 \) が最小点。
③ \( a \geq 1 \) のとき
区間が軸の左外にある（\( a \geq 1 \)）。最小点は左端 \( x = a \)（範囲内で軸に最も近いから）。
境界での整合：\( a = 0 \) では①②ともに \( 1 \)、\( a = 1 \) では②③ともに \( 1 \) になることを確認できます。
最小値をまとめると、
最小値は、軸 \( x = 1 \) が区間 \( a \leq x \leq a+1 \) のどこにあるかで決まる。
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