二次関数の最小値（固定区間）— 軸の位置が決め手になる3ケース

問題

$ 0 \leq x \leq 1 $ において、$ f(x) = x^2 - 2ax + 2a $ の最小値を求めよ。

最初にすることは平方完成です。

$$ f(x) = (x - a)^2 + 2a - a^2 $$

これで、軸は $ x = a $、頂点は $ (a,\ 2a - a^2) $ とわかります。

上に凸の放物線では、軸から離れるほど値が大きくなります。逆にいうと、軸に最も近い点が最小値を与えます。

ここで問題は「$ a $ がパラメータとして動く」という点です。$ a $ の値が変わるたびに軸 $ x = a $ の位置が変わるため、最小点の場所も変わります。だから「場合分け」が必要になります。

軸 $ x = a $ が $ 0 \leq x \leq 1 $ の範囲に対してどこにあるか——この位置関係だけを見れば、最小点の場所は自然に決まります。

3ケースのグラフ

軸が範囲の左側（$ a \leq 0 $）

軸は 0 より左にある。範囲内で軸に最も近いのは左端 $ x = 0 $。$ f $ はこの範囲全体で単調増加しているため、左端が最小点になります。

軸が範囲の内部（$ 0 < a < 1 $）

軸 $ x = a $ がちょうど範囲に入っている。この場合は頂点 $ x = a $ がそのまま範囲内に存在するため、頂点の値が最小値です。

軸が範囲の右側（$ a \geq 1 $）

軸は 1 より右にある。範囲内で軸に最も近いのは右端 $ x = 1 $。$ f $ はこの範囲全体で単調減少しているため、右端が最小点になります。

「軸の左では増加、軸の右では減少」という放物線の性質から、各ケースで最小点の場所は図を見ながら確認できます。

① $ a \leq 0 $ のとき

軸 $ x = a $ は範囲の左側にある。最小点は左端 $ x = 0 $（範囲内で軸に最も近いから）。

$$ f(0) = 2a $$

② $ 0 < a < 1 $ のとき

軸が範囲の内部にあるから、頂点 $ x = a $ が最小点。

$$ f(a) = 2a - a^2 = a(2 - a) $$

③ $ a \geq 1 $ のとき

軸 $ x = a $ は範囲の右側にある。最小点は右端 $ x = 1 $（範囲内で軸に最も近いから）。

$$ f(1) = 1 - 2a + 2a = 1 $$

境界での整合：$ a = 0 $ では①②ともに $ 0 $、$ a = 1 $ では②③ともに $ 1 $ になることを確認できます。

最小値をまとめると、

$$ \text{最小値} = \begin{cases} 2a & (a \leq 0) \\[4pt] a(2 - a) & (0 < a < 1) \\[4pt] 1 & (a \geq 1) \end{cases} $$

最小値は、軸が $ 0 \leq x \leq 1 $ の範囲のどこにあるかで決まる。

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