二次関数の最大値（動く区間）— なぜ場合分けは2ケースになるのか

問題

$ a \leq x \leq a+1 $ において、$ f(x) = x^2 - 2x + 2 $ の最大値を求めよ。

最初にすることは平方完成です。

$$ f(x) = (x - 1)^2 + 1 $$

これで、軸は $ x = 1 $、頂点は $ (1,\ 1) $ とわかります。

問3と同じ設定（固定された軸 $ x = 1 $、動く区間 $ a \leq x \leq a+1 $）です。違いは、今度は最大値を求める点です。

上に凸の放物線では、軸から離れるほど値が大きくなります。つまり、軸から最も遠い端点が最大値を与えます。頂点は最小点であり、最大は必ず端点で取られます。

「左端 $ x = a $ と右端 $ x = a+1 $ のどちらが軸 $ x = 1 $ から遠いか」——これだけを確認すれば、場合分けが決まります。

判定には、区間の中点 $ x = a + \dfrac{1}{2} $ と軸 $ x = 1 $ を比べます。中点より軸が右にあれば左端が遠く、左にあれば右端が遠い。

2ケースのグラフ

中点が軸より左（$ a + \dfrac{1}{2} < 1 $、つまり $ a < \dfrac{1}{2} $）

軸は右端 $ x = a+1 $ より左端 $ x = a $ に近い。裏を返すと、左端のほうが軸から遠いため、$ f(a) $ が最大値になります。

中点が軸以上（$ a + \dfrac{1}{2} \geq 1 $、つまり $ a \geq \dfrac{1}{2} $）

軸は左端 $ x = a $ より右端 $ x = a+1 $ に近い。今度は右端のほうが軸から遠いため、$ f(a+1) $ が最大値になります。

なぜ2ケースか

問3（最小値・動く区間）では「軸が区間の右外・内部・左外」という3通りの位置関係が必要でした。最大値では、区間がどこにあっても「軸から遠い端点はどちらか」だけを見ます。その判断は中点との大小1つで決まるため、ケース数は2つで済みます。

これは問2（固定区間・最大値）と同じ論理です。固定区間でも動く区間でも、最大値の場合分けは常に2ケースになります。

① $ a < \dfrac{1}{2} $ のとき

左端 $ x = a $ が軸から遠い（中点が軸の左側にあるから）。

$$ f(a) = (a - 1)^2 + 1 $$

② $ a \geq \dfrac{1}{2} $ のとき

右端 $ x = a+1 $ が軸から遠い（中点が軸の右側にあるから）。

$$ f(a+1) = (a+1-1)^2 + 1 = a^2 + 1 $$

境界での整合：$ a = \dfrac{1}{2} $ では①②ともに $ \dfrac{5}{4} $ になることを確認できます。

最大値をまとめると、

$$ \text{最大値} = \begin{cases} (a-1)^2 + 1 & \left(a < \dfrac{1}{2}\right) \\[6pt] a^2 + 1 & \left(a \geq \dfrac{1}{2}\right) \end{cases} $$

最大値は「軸から遠い端点はどちらか」で決まる。その判定は区間の中点 $ a + \dfrac{1}{2} $ と軸 $ x = 1 $ の大小1つで決まるため、2ケースになる。

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