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軸の位置で場合分けのしくみを理解する
二次関数の最大値・最小値を求めるとき、「場合分けが必要になる問題」があります。
たとえば「\( 0 \leq x \leq 1 \) で \( f(x) = x^2 - 2ax + 2a \) の最小値を求めよ」という問題では、\( a \) の値によって軸 \( x = a \) の位置が変わります。軸が区間の左外にあるのか、内部にあるのか、右外にあるのかによって、最小値を取る点がまったく異なります。だから「場合分け」が必要になるのです。
この単元では、
を、グラフと言葉で順番に確認しながら学びます。
「場合分けして計算する」手順を示すだけの解説は多くあります。
この解説では、式を追うことと同時に、なぜその場合分けをするのか・なぜその点が最大・最小になるのかを、図を見ながらひとつずつ確認します。
たとえば「最小値は頂点（軸の位置）で取られる」という事実も、「上に凸の放物線では軸に最も近い点が最小を与える」という構造と結びついて初めて、別の問題でも自分で判断できるようになります。式の意味を言葉にしながら理解することを、この解説では大切にしています。
\( 0 \leq x \leq 1 \) という固定された区間で、軸 \( x = a \) がパラメータ \( a \) とともに動くときの最小値を求めます。
軸が区間の左外・内部・右外の3つの位置に分かれることを図で確認し、それぞれのケースで最小点がどこに来るかを順に求めます。「なぜ3ケースに分けるのか」がこの記事の中心です。
前の問題と同じ「固定区間・軸が動く」設定で、今度は最大値を求めます。
最大値は2ケースに分かれます。最小値（3ケース）との違いはなぜ生じるのかを中心に解説します。上に凸の放物線では「軸から最も遠い端点」が最大を与えるという視点が、2ケース判断の根拠になります。
今度は区間 \( a \leq x \leq a+1 \) がパラメータ \( a \) とともに動き、軸は固定されます。
区間が軸の右外・内部を含む・左外の3つの位置に分かれることを図で確認し、最小点がどこに来るかを順に求めます。「軸が動く場合と区間が動く場合で、論理の骨格は同じ」という視点がこの記事の中心です。
問3と同じ設定（固定された軸・動く区間）で、今度は最大値を求めます。
最大値は2ケースに分かれます。問3（最小値・3ケース）との違いはなぜ生じるのかを中心に解説します。「軸から最も遠い端点が最大を与える」という視点と、区間の中点との比較による実用的な判定方法を対にして説明します。
この単元の4問（固定区間2問・動く区間2問）をまとめた解説PDFを無料で配布しています。
模範解答と「なぜその式変形をするのか」の意味説明を2段組で並べた構成で、各ケースを図と照らしながら確認できます。紙やタブレットに印刷して使うことも想定しています。
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