二次関数の最大値（固定区間）— なぜ場合分けは2ケースになるのか

問題

$ 0 \leq x \leq 1 $ において、$ f(x) = x^2 - 2ax + a + 1 $ の最大値を求めよ。

最初にすることは平方完成です。

$$ f(x) = (x - a)^2 + 1 + a - a^2 $$

軸は $ x = a $。ここまでは最小値の問題と同じです。

違いは、次に注目する場所です。上に凸の放物線では、軸から離れるほど値が大きくなります。つまり、軸から最も遠い点が最大値を与えます。頂点は最小点であり、最大は必ず端点で取られます。

「左端 $ x = 0 $ と右端 $ x = 1 $ のどちらが軸から遠いか」——これだけを確認すれば、場合分けが決まります。

軸 $ x = a $ から左端 $ x = 0 $ までの距離と、右端 $ x = 1 $ までの距離を比べます。その境界は、$ 0 \leq x \leq 1 $ の中点 $ x = \dfrac{1}{2} $ です。

2ケースのグラフ

軸が中点より左（$ a < \dfrac{1}{2} $）

軸は右端 $ x = 1 $ より左端 $ x = 0 $ に近い。裏を返すと、右端のほうが軸から遠いため、$ f(1) $ が最大値になります。

軸が中点より右（$ a \geq \dfrac{1}{2} $）

軸は左端 $ x = 0 $ より右端 $ x = 1 $ に近い。今度は左端のほうが軸から遠いため、$ f(0) $ が最大値になります。

なぜ2ケースか

最小値の問題では「軸が区間の左外/内部/右外」という3通りの位置関係が必要でした。最大値では、軸が区間のどこにあっても「どちらの端点が遠いか」だけを見ます。その判断は中点との大小1つで決まるため、ケース数は2つで済みます。

① $ a < \dfrac{1}{2} $ のとき

右端 $ x = 1 $ が軸から遠い（中点より左に軸があるから）。

$$ f(1) = 1 - 2a + a + 1 = 2 - a $$

② $ a \geq \dfrac{1}{2} $ のとき

左端 $ x = 0 $ が軸から遠い（中点より右に軸があるから）。

$$ f(0) = a + 1 $$

境界での整合：$ a = \dfrac{1}{2} $ では①②ともに $ \dfrac{3}{2} $ になることを確認できます。

最大値をまとめると、

$$ \text{最大値} = \begin{cases} 2 - a & \left(a < \dfrac{1}{2}\right) \\[6pt] a + 1 & \left(a \geq \dfrac{1}{2}\right) \end{cases} $$

最小値は「軸が範囲のどこにあるか（3ケース）」で決まり、最大値は「軸から遠い端点はどちらか（2ケース）」で決まる。

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