連立二次不等式 — 数直線上で共通部分を取る

問題

次の連立不等式を解け。

$$ \begin{cases} x^2 - x - 6 < 0 \\[4pt] x^2 - 5x + 4 < 0 \end{cases} $$

連立不等式は、各不等式を別々に解いて、最後に共通部分を取るという手順で解きます。

それぞれの二次不等式の解は前記事と同じ方法で求めます。

不等式①：$ x^2 - x - 6 < 0 $

$$ x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3) $$

$ x^2 - x - 6 = 0 $ の根（解）は $ x = -2,\ 3 $。$ a = 1 > 0 $ なので $ f < 0 $ の解は根の内側。

$$ -2 < x < 3 $$

不等式②：$ x^2 - 5x + 4 < 0 $

$$ x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) $$

$ x^2 - 5x + 4 = 0 $ の根（解）は $ x = 1,\ 4 $。$ a = 1 > 0 $ なので $ f < 0 $ の解は根の内側。

$$ 1 < x < 4 $$

2つの解を数直線上で確認します。

数直線上の共通部分

①の解 $ -2 < x < 3 $ と②の解 $ 1 < x < 4 $ の共通部分を取ります。

$$ (-2 < x < 3) \cap (1 < x < 4) = 1 < x < 3 $$

連立不等式の解：

$$ 1 < x < 3 $$

「不等式①かつ②を同時に満たす $ x $」とは、①の解集合と②の解集合の両方に属する $ x $ のことです。数直線上では「2つの区間が重なっている部分」がそれにあたります。

数直線を使う利点は、「どの部分が重なっているか」を視覚的に確認できることです。端点に注意しながら（開区間・閉区間の区別）、重なりを正確に読み取ります。

この問題では、①の右端が $ x = 3 $（除く）、②の左端が $ x = 1 $（除く）なので、共通部分は $ 1 < x < 3 $ です。両端とも除かれます。

連立二次不等式の解法：

$$ \begin{cases} x^2 - x - 6 < 0 \\[4pt] x^2 - 5x + 4 < 0 \end{cases} \iff 1 < x < 3 $$

この問題を含む4問（基本・判別式・a<0・連立）の解説PDFを無料で配布しています。各問の方針と解の構造を図と照らしながら確認できます。