二次不等式（a<0 のとき）— 解の範囲はなぜ逆転するのか

問題

次の不等式を解け。

$$ -x^2 + x + 2 > 0 $$

$ a = -1 < 0 $ です。放物線は下に凸（逆U字型）になります。

まず方程式 $ f(x) = 0 $ の根（解）を求めます。

$$ -x^2 + x + 2 = 0 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff (x-2)(x+1) = 0 $$

$ f(x) = 0 $ の根（解）は $ x = -1,\ 2 $ です。

a>0 と a<0 の比較

a > 0（上に凸）の場合（復習）

放物線は根の外側でx軸より上、内側で下にある。

$ f(x) > 0 $ の解 = 根の外側

a < 0（下に凸）の場合

$ f(x) = -x^2 + x + 2 $ は根 $ x = -1,\ 2 $ でx軸と交わり、その内側（$ -1 < x < 2 $）でx軸より上に来ます。根の外側（$ x < -1 $ または $ x > 2 $）では放物線はx軸より下です。

$ f(x) > 0 $ の解 = 根の内側

$$ -x^2 + x + 2 > 0 \iff -1 < x < 2 $$

上に凸（$ a > 0 $）と下に凸（$ a < 0 $）では、放物線がx軸より上にある領域がちょうど逆になります。

「$ f(x) > 0 $」= 「放物線がx軸より上」という対応は変わりません。変わるのは「どこが上か」です。

実際の計算では、係数を確認してから解の範囲の向きを判断することが重要です。$ a $ の符号を見落とすと解が逆になります。

$$ -x^2 + x + 2 > 0 \iff -1 < x < 2 $$

係数	$ f(x) > 0 $ の解（D>0 の場合）	$ f(x) < 0 $ の解
$ a > 0 $	根の外側（$ x < \alpha $ または $ x > \beta $）	根の内側（$ \alpha < x < \beta $）
$ a < 0 $	根の内側（$ \alpha < x < \beta $）	根の外側（$ x < \alpha $ または $ x > \beta $）

$ a < 0 $ では D=0・D<0 のケースも解の構造が変わる（すべての実数・解なしが入れ替わる）。その確認は同様にグラフで行える。

この問題を含む4問（基本・判別式・a<0・連立）の解説PDFを無料で配布しています。各問の方針と解の構造を図と照らしながら確認できます。

係数	\( f(x) > 0 \) の解（D>0 の場合）	\( f(x) < 0 \) の解
\( a > 0 \)	根の外側（\( x < \alpha \) または \( x > \beta \)）	根の内側（\( \alpha < x < \beta \)）
\( a < 0 \)	根の内側（\( \alpha < x < \beta \)）	根の外側（\( x < \alpha \) または \( x > \beta \)）