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二次不等式（D=0・D<0 のとき）— 判別式が解の構造を決める
問題
\( a > 0 \) の場合について、判別式 \( D \) の符号別に不等式の解を確認する。
- \( D > 0 \) のとき（前の記事の復習）
- \( D = 0 \) のとき：\( x^2 - 2x + 1 \geq 0 \) および \( x^2 - 2x + 1 \leq 0 \) を解け
- \( D < 0 \) のとき：\( x^2 + x + 1 > 0 \) および \( x^2 + x + 1 < 0 \) を解け
まず何を見るか
判別式 \( D = b^2 - 4ac \) は「放物線がx軸と何回交わるか」を決めます。
- \( D > 0 \)：放物線はx軸と2点で交わる → 根が2つある
- \( D = 0 \)：放物線はx軸に接する → 根が1つ（重根）
- \( D < 0 \)：放物線はx軸と交わらない → 実数の根がない
この「交わり方」が不等式の解の構造を直接決めます。
3ケースの構造
D > 0 のとき（前記事の復習）
根が2つあり、放物線は根の外側で x軸より上、内側で下にある。
\( f(x) > 0 \)：根の外側 \( f(x) < 0 \)：根の内側
D = 0 のとき：\( f(x) = (x-1)^2 \)
$$
x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2, \quad D = 4 - 4 = 0
$$
放物線の頂点が \( (1,\ 0) \) でx軸に接する。\( (x-1)^2 \geq 0 \) は常に成り立つ（平方は非負）。
- \( f(x) \geq 0 \) の解：すべての実数（\( x = 1 \) で等号成立）
- \( f(x) \leq 0 \) の解：\( x = 1 \) のみ
- \( f(x) > 0 \) の解：\( x \neq 1 \) すなわち \( x < 1 \) または \( x > 1 \)
- \( f(x) < 0 \) の解：解なし
D < 0 のとき：\( f(x) = x^2 + x + 1 \)
$$
x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}, \quad D = 1 - 4 = -3 < 0
$$
放物線の頂点が \( \left(-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{4}\right) \) で、全体がx軸より上にある。
- \( f(x) > 0 \) の解：すべての実数
- \( f(x) < 0 \) の解：解なし
なぜ D の符号でケースが変わるのか
\( f(x) < 0 \) が成り立つには、放物線がx軸より下に潜る部分が必要です。
- \( D > 0 \)：放物線は必ずx軸を2回横切るので、根の間で \( f < 0 \) となる部分がある
- \( D = 0 \)：放物線はx軸に接するだけで潜らない。\( f = 0 \) になるのは接点 1か所のみ
- \( D < 0 \)：放物線はx軸より完全に上にある。\( f < 0 \) になる \( x \) は存在しない
\( a > 0 \) であれば、\( f(x) < 0 \) の解が存在するのは \( D > 0 \) のときだけです。
まとめ（a>0 の場合）
| D の符号 |
\( f(x) > 0 \) の解 |
\( f(x) < 0 \) の解 |
| \( D > 0 \)（根 \( \alpha < \beta \)） |
\( x < \alpha \) または \( x > \beta \) |
\( \alpha < x < \beta \) |
| \( D = 0 \)（根 \( \alpha \)） |
\( x \neq \alpha \) |
解なし |
| \( D < 0 \) |
すべての実数 |
解なし |
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