二次不等式の基本（a>0, D>0）— 放物線がx軸より上にある範囲が解

問題

次の不等式を解け。

$$ (1)\ x^2 - x - 6 > 0 \qquad (2)\ x^2 - x - 6 < 0 $$

最初にすることは因数分解です。

$$ x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3) $$

これで $ x^2 - x - 6 = 0 $ の根（解）は $ x = -2,\ 3 $ とわかります。$ a = 1 > 0 $ なので放物線は上に凸（U字型）です。

ここで二次不等式の核心を確認します。

$ f(x) > 0 $ とは「$ f(x) $ の値が正」のことであり、グラフの言葉では「放物線 $ y = f(x) $ がx軸より上にある」ことを意味します。逆に $ f(x) < 0 $ は「放物線がx軸より下にある」ことです。

だから、「不等式の解を求める」= 「放物線がx軸より上（または下）にある $ x $ の範囲を読む」という作業です。

根 $ x = -2,\ 3 $ でグラフはx軸と交わります。上に凸の放物線 $ y = f(x) $ は、根の外側（$ x < -2 $ または $ x > 3 $）では x軸より上にあり、根の内側（$ -2 < x < 3 $）では x軸より下にあります。

放物線と解の範囲

(1) $ f(x) > 0 $ の解

放物線がx軸より上 → 根の外側

$$ x < -2 \quad \text{または} \quad x > 3 $$

(2) $ f(x) < 0 $ の解

放物線がx軸より下 → 根の内側

$$ -2 < x < 3 $$

上に凸の放物線は、頂点（最下点）が根と根のちょうど中間にあります。根の外側に行くほど放物線は上昇し、根の内側ではx軸より下に潜っています。

これは $ a > 0 $、$ D > 0 $ のときの基本パターンです。次の記事では、D の符号によってこの構造がどう変わるかを確認します。

$$ x^2 - x - 6 > 0 \iff x < -2 \quad \text{または} \quad x > 3 $$

$$ x^2 - x - 6 < 0 \iff -2 < x < 3 $$

解は「放物線がx軸のどちら側にあるか」から読み取れる。$ a > 0,\ D > 0 $ のとき、不等式 $ f(x) > 0 $ の解は根の外側、$ f(x) < 0 $ の解は根の内側になる。

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