放物線とx軸の位置関係で考える
二次不等式 \( f(x) > 0 \) の解を求めるとき、「グラフを使って読む」という手順を聞いたことがある人は多いと思います。しかしなぜグラフから解が読めるのか、なぜ判別式の符号で場合が変わるのか、については疑問が残りやすい部分です。
たとえば \( x^2 - x - 6 > 0 \) を解くとき、\( x^2 - x - 6 = 0 \) の根（解）は \( x = -2,\ 3 \) であり、「\( y > 0 \) になるのは放物線がx軸より上にある部分」です。その部分はちょうど \( x < -2 \) または \( x > 3 \) — つまり根の外側にあたります。
このように、不等式の解は「放物線とx軸の位置関係」から直接読み取れます。ところが判別式 \( D \) の符号によって放物線の形が変わり、解の構造もまったく異なるケースが生じます。また係数 \( a \) が負になると放物線が下に凸になり、解の範囲が逆転します。
この単元では、
を、グラフと言葉で順番に確認しながら学びます。
\( x^2 - x - 6 > 0 \) を題材に、二次不等式の基本構造を解説します。
不等式の解 = 「放物線がx軸より上にある \( x \) の範囲」という対応を確認し、根の内側・外側で解が決まる理由をグラフとともに見ます。
判別式 \( D \) の符号によって、解の構造がどう変わるかを3ケースで確認します。
\( D > 0 \)（2交点）・\( D = 0 \)（1接点）・\( D < 0 \)（交点なし）の3つで、グラフの形と解の範囲の関係がどう変わるかを順に確認します。「\( D < 0 \) かつ \( a > 0 \) なら解は全実数」という結論が生じる理由が中心です。
係数 \( a \) が負になると、放物線が下に凸になり、解の範囲が逆転します。
\( -x^2 + x + 2 > 0 \) を題材に、\( a > 0 \) の場合と比較しながら、なぜ根の内側が \( f(x) > 0 \) の解になるかを確認します。
2つの二次不等式を同時に満たす \( x \) の範囲を求めます。
各不等式を別々に解いて、数直線上で共通部分を取る手順を確認します。「共通部分を取る」ことの意味を数直線で可視化することがこの記事の中心です。
この単元の4問（基本・判別式・a<0・連立）をまとめた解説PDFを無料で配布しています。各問の方針と解の構造を図と照らしながら確認できます。紙やタブレットに印刷して使うことも想定しています。