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放物線と直線の共有点の個数 — 判別式 \( D \) の符号で決まる

問題

放物線 \( y = x^2 \) と直線 \( y = x + k \)（\( k \) は定数）の共有点の個数を、\( k \) の値によって場合分けせよ。

なぜ判別式で個数がわかるか

放物線と直線の交点の \( x \) 座標は、2つの式を連立した方程式の解です。

$$ x^2 = x + k \implies x^2 - x - k = 0 $$

この2次方程式 \( x^2 - x - k = 0 \) の実数解の個数が、そのまま共有点の個数になります。

判別式 \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 1 + 4k \) の符号によって：

\( D \) の符号 実数解の個数 共有点の個数
\( D > 0 \) 2つ 2点
\( D = 0 \) 1つ（重解） 1点（接する）
\( D < 0 \) 実数解なし 0点

下の図でそれぞれの場合を確認してください。

放物線と直線の共有点の個数（D>0/D=0/D<0）

場合分けの解答

判別式 \( D = 1 + 4k \) の符号を \( k \) で表します。

$$ D = 1 + 4k \begin{cases} > 0 & \left(k > -\dfrac{1}{4}\right) \\[8pt] = 0 & \left(k = -\dfrac{1}{4}\right) \\[8pt] < 0 & \left(k < -\dfrac{1}{4}\right) \end{cases} $$

したがって：

接するとき（D = 0）の接点の座標：

\( k = -\dfrac{1}{4} \) のとき、\( x^2 - x + \dfrac{1}{4} = 0 \) を解くと \( \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 = 0 \) なので \( x = \dfrac{1}{2} \)、\( y = \dfrac{1}{4} \)。接点は \( \left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4}\right) \)。

まとめ

共有点の個数を求める手順：

  1. 2式を連立して \( ax^2 + bx + c = 0 \) の形にまとめる
  2. 判別式 \( D = b^2 - 4ac \) を計算する
  3. \( D > 0 \)（2個）、\( D = 0 \)（1個・接する）、\( D < 0 \)（0個）で場合分けする
条件 共有点の個数
\( k > -\dfrac{1}{4} \)（\( D > 0 \)） 2個
\( k = -\dfrac{1}{4} \)（\( D = 0 \)） 1個（接する）
\( k < -\dfrac{1}{4} \)（\( D < 0 \)） 0個

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