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放物線と直線の共有点の座標 — 連立方程式を解いて求める
問題
放物線 \( y = x^2 \) と直線 \( y = 2x + 3 \) の共有点の座標をすべて求めよ。
問題の解き方
2つの式を連立します。共有点の \( x \) 座標は、両式の \( y \) が等しくなる点なので：
$$
x^2 = 2x + 3
$$
整理すると：
$$
x^2 - 2x - 3 = 0
$$
因数分解します：
$$
(x - 3)(x + 1) = 0
$$
$$
x = 3 \quad \text{または} \quad x = -1
$$
それぞれの \( y \) 座標を \( y = x^2 \) に代入して求めます：
- \( x = 3 \) のとき：\( y = 9 \)
- \( x = -1 \) のとき：\( y = 1 \)
したがって、共有点の座標は \( (-1,\ 1) \) と \( (3,\ 9) \) です。
確認
求めた座標が直線 \( y = 2x + 3 \) 上にあることを確かめます：
- \( x = -1 \)：\( 2(-1) + 3 = 1 \) ✓
- \( x = 3 \)：\( 2(3) + 3 = 9 \) ✓
両点とも放物線・直線の両方を満たしています。
まとめ
共有点の座標を求める手順：
- \( y = f(x) \) と \( y = g(x) \) を連立して \( f(x) = g(x) \) にまとめる
- 2次方程式を解いて \( x \) の値を求める
- 求めた \( x \) を一方の式に代入して \( y \) を求める
- 座標 \( (x, y) \) として答える
この問題の結果：
$$
\text{共有点}：(-1,\ 1)\ \text{と}\ (3,\ 9)
$$
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