2交点と原点でできる三角形の面積 — 座標の公式を使う

問題

放物線 $ y = x^2 $ と直線 $ y = 2x + 3 $ の2つの共有点および原点を3頂点とする三角形の面積を求めよ。

2式を連立すると：

$$ x^2 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 $$

解は $ x = -1 $ と $ x = 3 $ です。それぞれ $ y = x^2 $ に代入すると：

共有点は $ A(-1,\ 1) $ と $ B(3,\ 9) $ です。

原点 $ O(0,\ 0) $、$ A(-1,\ 1) $、$ B(3,\ 9) $ を頂点とする三角形の面積は、次の公式で求められます。

$$ S = \frac{1}{2} \left| x_A y_B - x_B y_A \right| $$

数値を代入すると：

$$ S = \frac{1}{2} \left| (-1)(9) - (3)(1) \right| = \frac{1}{2} \left| -9 - 3 \right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 $$

2交点と原点でできる三角形の面積

原点 $ O(0,\ 0) $ と2点 $ A(x_1,\ y_1) $、$ B(x_2,\ y_2) $ を頂点とする三角形の面積：

$$ S = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right| $$

この式は $ \overrightarrow{OA} $ と $ \overrightarrow{OB} $ が作る平行四辺形の面積の半分です。

2交点と原点を頂点とする三角形の面積を求める手順：

この問題の結果：

$$ S = 6 $$

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