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放物線と直線の交わり方を、判別式・連立方程式・座標の3ステップで理解する
放物線 \( y = ax^2 + bx + c \) と直線 \( y = mx + n \) の交点に関する問題には、大きく3つのタイプがあります。
この3つは密接につながっています。「交わる点がある（D > 0）」ことを確認してから「座標を求め」、必要なら「面積を計算する」という流れが基本です。
下の図は、この単元で扱う3種の問題のイメージです。
放物線 \( y = x^2 \) と直線 \( y = x + k \) の共有点の個数を、\( k \) の値によって場合分けします。
「交わる点が何個あるか」は、連立して得られる2次方程式の判別式 \( D \) の符号で決まります。\( D > 0 \) なら2点、\( D = 0 \) なら1点（接する）、\( D < 0 \) なら0点です。
放物線 \( y = x^2 \) と直線 \( y = 2x + 3 \) の共有点の座標を求めます。
連立すると \( x^2 = 2x + 3 \) となり、因数分解で \( x = -1, 3 \) が出ます。それぞれの \( y \) 値を求めることで共有点の座標が確定します。
放物線 \( y = x^2 \) と直線 \( y = 2x + 3 \) の2つの共有点 \( A(-1,\ 1) \)、\( B(3,\ 9) \) と原点 \( O \) を頂点とする三角形の面積を求めます。
| 共有点の座標を連立方程式で求め、公式 \( S = \dfrac{1}{2} \left | x_1 y_2 - x_2 y_1 \right | \) に代入します。 |
この単元の3問（共有点の個数・座標・三角形の面積）をまとめた解説PDFを無料で配布しています。各問の方針と解の手順を確認できます。紙やタブレットに印刷して使うことも想定しています。
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