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頂点と1点・軸と2点から式を決める — 頂点形 \( a(x-p)^2 + q \) で立てる
問題
（1）頂点が \( (-1,\ 2) \) で、点 \( (1,\ 10) \) を通る放物線の式を求めよ。
（2）軸が \( x = 1 \)、点 \( (0,\ -1) \) と \( (3,\ 5) \) を通る放物線の式を求めよ。
頂点形を使う2つのパターン
頂点や軸の情報がある場合、頂点形 \( y = a(x-p)^2 + q \) を使うと定数がすぐ確定します。
- 頂点 \( (p, q) \) がわかる → \( p, q \) が決まる → 残りは \( a \) だけ → 1点で決定
- 軸 \( x = p \) がわかる → \( p \) が決まる → 残りは \( a, q \) → 2点で2式立てて決定
（1）頂点と1点から決める
頂点が \( (-1,\ 2) \) なので、頂点形に \( p = -1,\ q = 2 \) をそのまま代入する。
$$
y = a(x + 1)^2 + 2
$$
点 \( (1,\ 10) \) を通ることから:
$$
10 = a(1 + 1)^2 + 2 = 4a + 2
$$
$$
4a = 8 \implies a = 2
$$
よって
$$
y = 2(x + 1)^2 + 2 = 2x^2 + 4x + 4
$$
（2）軸と2点から決める
軸が \( x = 1 \) なので \( p = 1 \) が確定する。
$$
y = a(x - 1)^2 + q
$$
点 \( (0,\ -1) \) を代入:
$$
-1 = a(0 - 1)^2 + q = a + q \quad \cdots ①
$$
点 \( (3,\ 5) \) を代入:
$$
5 = a(3 - 1)^2 + q = 4a + q \quad \cdots ②
$$
②－①:
$$
3a = 6 \implies a = 2
$$
①から \( q = -1 - 2 = -3 \)。
よって
$$
y = 2(x - 1)^2 - 3 = 2x^2 - 4x - 1
$$
確認
（1）\( y = 2(x+1)^2 + 2 \)
- \( x = -1 \): \( 0 + 2 = 2 \)（頂点）✓
- \( x = 1 \): \( 2 \cdot 4 + 2 = 10 \) ✓
（2）\( y = 2(x-1)^2 - 3 \)
- \( x = 0 \): \( 2 \cdot 1 - 3 = -1 \) ✓
- \( x = 3 \): \( 2 \cdot 4 - 3 = 5 \) ✓
- 軸 \( x = 1 \) ✓
まとめ
| 与えられた条件 |
使う形 |
手順 |
| 頂点 \( (p, q) \) ＋ 1点 |
\( y = a(x-p)^2 + q \) |
\( p, q \) を代入 → 1点で \( a \) を決める |
| 軸 \( x = p \) ＋ 2点 |
\( y = a(x-p)^2 + q \) |
\( p \) を代入 → 2点で \( a, q \) を連立で求める |
ポイント: 軸は頂点のx座標と同じ（\( x = p \)）。「軸がわかる」と「頂点のx座標がわかる」は同値。
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