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\( x = 1 \) と \( x = 3 \) を解にもち、点 \( (0,\ 6) \) を通る放物線の式を求めよ。
「\( x = \alpha \) と \( x = \beta \) が解である」とは、「\( f(\alpha) = 0 \) かつ \( f(\beta) = 0 \)」を意味します。これは放物線がx軸と \( x = \alpha \)、\( x = \beta \) で交わることと同じです。
この条件を満たす二次式は \( (x - \alpha)(x - \beta) \) に比例します。よって
の形が使えます。\( \alpha, \beta \) は最初から確定しているので、未知数は \( a \) だけです。あと1点を代入するだけで式が決まります。
\( x = 1, x = 3 \) が解なので
とおく。点 \( (0,\ 6) \) を通ることから:
よって
因数形を使う条件: 二次方程式の2つの解 \( \alpha, \beta \) が与えられている。
手順:
3つの形の使い分けまとめ:
| 与えられた条件 | 使う形 | 未知数の数 |
|---|---|---|
| 通る3点の座標 | \( y = ax^2 + bx + c \)（一般形） | 3（\( a, b, c \)） |
| 頂点＋1点、軸＋2点 | \( y = a(x-p)^2 + q \)（頂点形） | 1〜2（\( a \) or \( a, q \)） |
| 2つの解＋1点 | \( y = a(x-\alpha)(x-\beta) \)（因数形） | 1（\( a \)） |
条件を整理してから「どの形が最も少ない計算で済むか」を選ぶことが、式の決定問題を速く解く鍵です。
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