3点を通る二次関数の式の決定 — 一般形 $ ax^2 + bx + c $ で連立方程式を立てる

問題

3点 $ (0,\ 3) $、$ (1,\ 0) $、$ (2,\ 1) $ を通る放物線の式を求めよ。

「頂点」も「軸」も「解」も与えられていない。座標の値だけが3つある。このとき、最も多くの情報を受け入れられる形は一般形 $ y = ax^2 + bx + c $ です。

一般形には定数が $ a, b, c $ の3つあります。「点を通る」という条件を1つ代入するたびに1つの方程式が得られます。3点なら3式 → 3元連立方程式 → $ a, b, c $ を唯一に決めることができます。

3点を通る放物線：一般形で連立方程式

$ y = ax^2 + bx + c $ とおく。3点を代入する。

$ (0,\ 3) $ を代入:

$$ 3 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \implies c = 3 $$

$ (1,\ 0) $ を代入:

$$ 0 = a + b + 3 \implies a + b = -3 \quad \cdots ① $$

$ (2,\ 1) $ を代入:

$$ 1 = 4a + 2b + 3 \implies 4a + 2b = -2 \implies 2a + b = -1 \quad \cdots ② $$

②－①:

$$ a = 2 $$

①から $ b = -3 - 2 = -5 $。

よって求める式は

$$ y = 2x^2 - 5x + 3 $$

一般形を使う条件: 「頂点・軸・解」のどの情報もなく、通る3点の座標だけが与えられている。

手順:

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