二次関数の式の決定

与えられた条件に応じて「どの形で立てるか」を判断する

この単元で学ぶこと

二次関数の式を決定する問題では、「与えられた条件」と「使う式の形」を対応させることが出発点です。

代表的な3つの形があります。

一般形 \( y = ax^2 + bx + c \)：3つの定数 \( a, b, c \) を求める。3点の座標が与えられたとき有効。
頂点形 \( y = a(x-p)^2 + q \)：定数は \( a, p, q \) の3つ。頂点の座標や軸の位置が与えられたとき有効。
因数形 \( y = a(x-\alpha)(x-\beta) \)：2つの解 \( \alpha, \beta \) が与えられたとき有効。定数は \( a \) だけを求めれば足りる。

「条件に合った形を先に選ぶ」ことで、代入→連立方程式の解法が最短になります。

下の図は3種の形と、それぞれに対応する「与えられた条件」のイメージです。

二次関数の式の決定概念図

3点の座標が与えられた場合、一般形 \( y = ax^2 + bx + c \) に各点を代入すると3元連立方程式になります。

定数が3つあり、条件も3つ。一般形は「特別な情報がないとき」の基本形です。

頂点の座標 \( (p, q) \) または軸 \( x = p \) が与えられた場合、頂点形を使えば定数 \( p, q \) が最初から確定します。

未知数が \( a \) だけになるので、残り1点を代入すれば式が決まります。「頂点の情報がある」ときの最短手順です。

二次方程式 \( f(x) = 0 \) の2つの解 \( x = \alpha, \beta \) が分かっている場合、因数形 \( y = a(x-\alpha)(x-\beta) \) を使います。

未知数は \( a \) だけです。もう1点の座標を代入すれば、式が1発で決まります。

この単元の3問（一般形・頂点形・因数形）をまとめた解説PDFを無料で配布しています。各問の方針と解の手順を確認できます。紙やタブレットに印刷して使うことも想定しています。